Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния на вы­со­ту. По­это­му (см.рис.) см².

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к дан­ной сто­ро­не Синус из­вест­но­го угла есть от­но­ше­ние вы­со­ты и одной из сто­рон. Най­дем одну из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, по­ла­гая, что вы­со­та равна 2 · 2 = 4: Таким об­ра­зом, ис­ко­мая пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию най­ден­ной сто­ро­ны на вы­со­ту

Ответ: 56.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Из фор­му­лы пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма найдём

Вос­поль­зу­ем­ся ос­нов­ным три­го­но­мет­ри­че­ским тож­де­ством и найдём за­ме­тив, что угол ABC тупой:

Те­перь найдём боль­шую диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ABC:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Пусть тогда Ана­ло­гич­но и Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма пред­ста­вим в виде суммы пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков, из ко­то­рых он со­став­лен:

За­ме­тим, что так как Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна Имеем:

Итак,

Ответ: 162.

Пусть тогда и

Тре­уголь­ни­ки KBP и KCD по­доб­ны (по­сколь­ку от­рез­ки BP и CD па­рал­лель­ны) с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му

Тре­уголь­ни­ки KTC и DTA по­доб­ны (по­сколь­ку от­рез­ки AD и KC па­рал­лель­ны) с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му

Зна­чит,

Ответ: 50.

За­ме­тим, что где пер­вое ра­вен­ство равно из-за бис­сек­три­сы, вто­рое  — на­крест ле­жа­щие углы. Зна­чит, тре­уголь­ник ABK рав­но­бед­рен­ный и по­то­му AB  =  2. Далее, и по­то­му пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 75.

Пусть мень­шая сто­ро­на па­рал­ле­ло­грам­ма равна 4a, а боль­шая сто­ро­на па­рал­ле­ло­грам­ма равна 5a. Если боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 120°, то мень­ший угол равен 60°. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тре­уголь­ник ABH  — пря­мо­уголь­ный, угол ABH равен 30°, тогда длина AH равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка, то есть 2a. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Таким об­ра­зом, длина боль­шей сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равна а пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна Зна­че­ние вы­ра­же­ния равно

Ответ: 90.

Диа­го­наль делит па­рал­ле­ло­грамм на два рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Ге­ро­на, чтобы найти S:

Итак,

Ответ: 168.